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博士资格考试之代数学

DOCTOR COURSE INFORMATION
志天在职博士网    http://zzb.22edu.com/    发布时间:2012年05月15日

博士资格考试之代数学:                                                                                                                                主要参考书籍:
  [1].冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞编著, 近世代数引论, 中国科学技术大学出版社;
  [2].Serge Lang, Algebra, revised 3rd edition, GTM 211, Springer。

考试要点:
  1.群论: [1]中第一章所有内容, 或者参考[2], 第I章, 具体内容包括: 半群和群的定义、子群和陪集分解(拉格朗日定理)、循环群、正规子群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限生成阿贝尔群结构定理、小阶群的结构;
  2.环和域: [1]中第二章, 或者参考[2], 第II, IV和V章. 具体内容包括: 环的定义, 例子和性质, 矩阵环;理想, 商环, 同态(同构)基本定理;素理想和极大理想,中国剩余定理;UFD, PID和ED;多项式环, 欧式算法, 高斯引理和Eisenstein判别法;域的扩张, 代数扩张与超越扩张;有限域理论;
  3.伽罗瓦理论: [1]中第三章, 或者参考[2], 第VI章. 具体内容包括: 分裂域;可分扩张与正规扩张;伽罗瓦理论基本定理;
  4.模论: [2]第III, XVI章. 具体内容包括: 模的定义, 子模和商模, 模同态, 直和和直积, 自由模([2] III.1-4);有限生成模, 主理想整环上的有限生成模的结构定理([2] III.7);正合列和蛇形引理([2] III.9);张量积模([2] XVI.1-2)。

 


***** 代数学试题样卷 *****


 
博士资格考试—微分流形与代数拓扑

微分流形:

主要参考书籍:
  1.陈维桓,《微分流形初步》的前七章,第二版,高等教育出版社,2001;
  2.陈省身,陈维桓,《微分几何讲义》的前六章,第二版,北京大学出版社,2001。

考试要点:
  1.微分流形的定义,光滑映射,切向量,切空间;
  2.张量,外微分算子;
  3.单位分解定理,流形上的积分,Stokes定理;
  4.单参数变换群,Frobenius定理;
  5.李群,李代数,结构方程;
  6.向量丛及向量丛上的联络;
  7.黎曼流形简介,曲面的曲率。

代数拓扑:

主要参考书籍:
  [1].Armstrong, 基础拓扑学,北京大学出版社;
  [2].Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology, GTM 82。

考试要点:
  1.连续映射、紧致性、连通性;
  2.单纯形、复形;
  3.基本群,Van Kampen 定理,曲面分类定理;
  4.复迭空间、万有复迭空间;
  5.单纯同调、简单同调群的计算;(以上部分参看[1]中相关章节)
  6.de Rham 复形和上同调,Poincare对偶。
    

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